BEP英国育儿九年级数学这道关于圆的动点
2024-08-14 来源：智趣资讯
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求圆上的动点构成的线段和的最值是数学中考的常考题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初三学生的数学学习带来帮助。
例题如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+1/2PC的最小值。
解题过程：
连接BP，设菱形边长BC与圆B的交点为F，取BF、BP的中点E、G，连接PE、FG
根据题目中的条件：菱形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，则BC=CD=4，BF=BP=2；
根据结论：BC=4，BF=2，则点F是BC的中点；
根据中位线定理和结论：点F、G分别是BC、BP的中点，则GF=PC/2；
根据题目中的条件：点E、G分别是BF、BP的中点，则BE=BF/2，BG=BP/2；
根据题目中的条件和结论：BE=BF/2，BG=BP/2，BP=BF，则BE=BG；
根据全等三角形的判定和结论：BE=BG，∠PBC=∠PBC，BP=BF，则△BEP≌△BGF；
根据全等三角形的性质和结论：△BEP≌△BGF，则EP=GF；
根据结论：GF=PC/2，EP=GF，则EP=PC/2；
根据结论：EP=PC/2，则PD+1/2PC=PD+EP；
所以，当点D、P、E在同一条直线上时，PD+1/2PC取到最小值；
过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M
根据题目中的条件和结论：BF=2，BE=BF/2，则BE=1；
根据结论：BE=1，BC=4，则EC=BC-BE=3；
根据菱形的性质和题目中的条件：四边形ABCD是菱形，则AB∥CD，AB=BC=CD=AD=4；
根据平行线的性质和结论：AB∥CD，∠B=60°，则∠DCM=∠B=60°；
根据结论：DM⊥BC，∠DCM=60°，CD=4，则DM=CD*sin60°=2√3，CM=CD*cos60°=2；
根据结论：EC=3，CM=2，则EM=EC+CM=5；
根据勾股定理和结论：DM⊥BC，EM=5，DM=2√3，ED^2=EM^2+DM^2，则ED=√37；
所以，PD+1/2PC的最小值为√37。
结语解决本题的关键是利用中位线定理将需要求解的线段长度和的一部分进行等量替换，再合理添加辅助线，构造出一组全等三角形，利用全等性质将线段继续进行等量替换，直至两条线段处于一个三角形中，当三点一线时取到线段和的最值，求得题目需要的值。